Геометрия как искусство (часть первая)

Эта статья - первая в цикле переводов, посвященных геометрии и тому, как она работает в искусстве. Начнем со словаря и рассказа об инструментах.

Продолжение вводного урока можно найти здесь.

Если с геометрией у вас было и есть все в порядке, и вы понимаете, как строить перпендикуляры и параллельные прямые, то следующий урок можно пропустить, а переходить сразу к узорам: на основе четырех- и восьмиугольников

собственно, примерно этим и займемся

 

В ранних цивилизациях наука (а особенно – математика), религия и искусство были неотделимы. У нас даже нет подходящего понятия, которое бы охватило всю обширную и подвижную область знаний, которую они образовывали вместе. Однако мы можем почувствовать их взаимосвязь, если всмотримся внимательнее в те изумительные произведения геометрического искусства, которые сохранились до наших дней и как правило относятся к культовым сооружениям.

северное окно собора Нотр-Дам де Пари, Париж, Франция 

 

Геометрия – ни что иное, как числа, преобразованные в нечто видимое. Это хорошо видно в ранних обозначениях цифр, до того, как появились привычные для нас символы, вроде 1, 2, 3. Первые геометры понимали отношения между числами, как отношение между олицетворяющими их формами. Числа были наполнены глубоким смыслом, и он же переходил к форме, источником которой являлись численные соотношения. Двумерная абстрактная природа геометрии была ступенью, приближающей к внемерному, Божественному пониманию физического мира, поскольку ее красота вполне буквально следовала из него.

мозаичное панно в Альгамбре, Испания, фото Патрика Грубана

Очарование геометрии и математически точных узоров сегодня переоткрывается заново: интерес к ним выражается в росте популярности фрактальных узоров. В то же время для создания сложных геометрических композиций не обязательно использовать специальное ПО. Пожалуй, в том, чтобы медленно выводить их на белом ничто бумаги, есть что-то медитативное. Этим в наших уроках и займемся.

На первых уроках начнем с элементарных “кирпичиков”, оттачивая простые формы, и будет двигаться через паттерны и замысловатые композиции к работам самым сложным в подготовке и исполнении, но определенно стоящим того.

Терминология

Для начала давайте определимся с понятиями, которые постоянно будут всплывать в уроках. Возможно, некоторые из них вам уже знакомы.

• Окружность – простейшая геометрическая форма, замкнутая кривая, все точки которой равноудалены от центра.
• Диаметр – любая прямая, проходящая через центр окружности и соединяющая две точки на окружности.
• Радиус – любая прямая, которая соединяет центр окружности с собственно линией окружности (в практическом отношении – раскрыв циркуля)
• Хорда – любая прямая, не проходящая через центр окружности и соединяющая две точки на окружности.
• Полуокружность – ровно половина окружности.
• Дуга – любой сегмент окружности, кроме полуокружности.
• Касательная — линия, пересекающаяся с окружностью в единственной точке.

• Острый угол – угол меньше 90º
• Прямой угол – угол, равный 90º.
• Тупой угол – угол, больше 90º.
• Треугольник – любая замкнутая ломаная из трех отрезков. В отличие от трех следующих его часто называют неравносторонним. Сумма углов любого треугольника равна 180º.
• Прямоугольный треугольник – тот, у которого есть один прямой угол. Другие два угла и стороны при этом необязательно равны.
• Равнобедренный треугольник – тот, у которого равны две стороны (на рисунке равные стороны отмечены штрихами).
• Равносторонний треугольник – тот, у которого равны все стороны (и углы — 60º).

• Четырехугольник – любая замкнутая ломаная из четырех отрезков. Сумма углов четырехугольника равна 360º.
• Прямоугольник – четырехугольник с четырьмя прямыми углами. Противолежащие стороны у него равны и параллельны.
• Квадрат – равносторонний четырехугольник с четырьмя прямыми углами.
• Ромб — равносторонний четырехугольник, противолежащие углы которого равны, но углы – не прямые.
• Восемь следующих фигур – многоугольники (замкнутые ломаные из N отрезков, где N>4) с количеством сторон от 5 до 12. Все их стороны и углы равны.

Инструменты

Первыми инструментами в геометрии были веревочки и колышки, так что никаких изощренных инструментов не потребуется. Вам будут нужны карандаш, линейка и циркуль.

Карандаши

Простой графитовый карандаш прекрасно подходит для работы, но не хватайте первый попавшийся: посмотрите на мягкость. На рисунке ниже видно отмету HB на оранжевом карандаше, и 6H на сером. Это и есть указание на мягкость. Маркировка B указывает на мягкий грифель, и чем больше число (4B, 5B), тем грифель мягче.

Мягкий карандаш позволяет проводить более темные линии, не продавливая бумагу, но при этом он легко смазывается.

Маркировка H указывает на твердый грифель, принцип градации такой же. Твердый карандаш оставляет едва заметную линию и не смазывается, но может повредить бумагу, если нажать слишком сильно.

HB, очевидно, являет собой золотую середину.

Пока вы работаете с геометрическими узорами, забудьте о мягких карандашах! Причина в том, что в темных линиях построения легко запутаться, да и размазанных линий не избежать. К тому же мягкие карандаши быстро тупятся, что приводит либо к необходимости тратить время на постоянное подтачивание, либо к потере точности в чертеже.

Наша задача в том, чтобы делать основу рисунка и построение тонкими линиями, а затем использовать более мягкий карандаш для обведения основных линий узора. Это и объясняет два выбранных карандаша: 6H долго остается острым и дает очень светлую линию, на фоне которой прекрасно проступит то, что будет обведено HB.

В особенно сложных узорах линии можно утолщать и на промежуточной стадии, используя карандаши, например, 3H и 2H. Важно помнить, что твердыми карандашами нужно рисовать без нажима, потому что они могут продавить бумагу, и след потом будет невозможно стереть.

Когда работа карандашом закончена, можно обвести все чернилами, и затем стереть остатки карандаша, или использовать краску, которая скроет карандаш под собой. При желании можно вообще взять копировальную бумагу и перевести рисунок на новый чистый лист.

Преимущество обычных простых карандашей — их доступность, недостаток – необходимости часто их точить, а также вред, наносимый окружающей среде. В качестве альтернативного варианта, который предпочитаю в том числе и я, можно попробовать хороший двухмиллиметровый механический карандаш (также известный как цанговый карандаш), вроде того, что показан на рисунке. Для них выпускают специальные точилки и сменные грифели.

Таким образом, у вас будет всего один карандаш и комплект необходимых грифелей к нему. Избегайте слишком тонких грифелей, порядка 0.5 мм, потому что их нельзя как следует наточить (а 0.5 мм – туповат для наших задач!) и не будет широкого диапазона мягкости.

Что-нибудь с прямой стороной (линейка)

Строго говоря, измерительные приборы в геометрии не используются, потому что они не дают той точности, которую дает правильное построение, и в этой серии уроков мы ими пользоваться не будем. В идеале нам бы нужно было бы нечто с прямым краем без измерительной шкалы, но и обычная хорошая линейка вполне подойдет.

В поисках особо точного инструмента обратите внимание на производителей, которые ориентированы на архитекторов, в любом магазине художественных товаров будет представлена хотя бы одна. Вы можете подумать, почему, собственно, не подходит какая-нибудь любая линейка. Так вот: потому. Не подходит. Точность шкалы нас не интересует, но то, насколько именно линейка прямая, ОЧЕНЬ важно.

Как это проверить? А вот так: проведите линию вдоль одной из сторон линейки, затем переверните ее и проведите вторую линию по той же стороне в точности поверх первой линии.Я провел этот эксперимент с проверенной временем линейкой, которой я пользуюсь с 1997 года.

Присмотритесь – линии слились, а это значит, что линейка идеально ровная.

Следующим участником была металлическая линейка, и на фотографии сразу видно, почему такую линейку, хоть ей иногда неплохо что-нибудь разрезать, нельзя использовать для работы, требующей точности.

Присмотритесь. Видите, что чем правее, тем сильнее расходятся линии? Если развернуть картинку на весь экран, то хорошо видно, что хоть линии и проведены по одной стороне линейки, они расходятся, то есть линейка имеет едва заметный изгиб. А ведь именно этого мы хотим избежать!

Циркуль

Самый интересный и самый важный инструмент, но, как правило, и самый дорогой. Другой вопрос, что хороший циркуль – на вес золота, и покупается раз в жизни. Конечно, пока вы учитесь, можно пользоваться простеньким школьным циркулем, и обновиться при переходе к более сложным работам (или когда устанете страдать от недостатка точности).

Циркуль в основе своей – это две ножки, соединенные шарниром. На конце одной ножки – игла, на конце другой – грифель. Раскрыв циркуля можно регулировать отведением “грифельной” ножки, и она же поворачивается вокруг ножки с иголкой, создавая таким образом круг. Циркуль – прообраз веревочек и колышков, которые использовались в архитектуре многие века назад.

На что обращать внимание при выборе циркуля:

1. Винт в механизме, который отвечает за раскрыв (или как минимум тот винт, который прижимает шарнир, когда нужный раскрыв установлен). Нам не нужен циркуль, который легко раскрывается и закрывается, потому что это приведет к тому, что раскрыв будет плавать во время работы.

2. Сменный карандаш. Конец правой ножки циркуля может быть снят и заменен на крепеж для чего угодно (обычного карандаша, ручки, рейсфедера или даже кисти). Это неоценимое удобство, поскольку иначе вам придется работать с чернилами или красками вручную, что угрожает идеальности проведенной линии.

3. Расширяющее колено, которое позволяет рисовать круги большего радиуса, чем при полном раскрыве прямых ножек. Например, если максимальный радиус циркуля на прямых ножках 25 см, то колено может увеличить его до 35 см.

В некоторых циркулях нет встроенного грифеля, и они предназначены для работы с простым карандашом. Они тоже подойдут: это вопрос вкуса, и работают тут те же за и против, что при выборе механического или обычного карандаша.

Что полезно знать при работе с циркулем:

• Подложите под работу лист картона или чертежную доску размером как минимум с ваш рабочий лист. Это, во-первых, защитит стол от царапин, а во-вторых, иголка воткнется достаточно глубоко, чтобы не смещаться. В противном случае вам придется понервничать, потому что иголка обязательно будет соскальзывать.
• Установите иголку с большой точностью, ровно там, где, как вы считаете, она должна быть, затем указательным и большим пальцем возьмитесь за ручку (сверху) и именно ими вращайте циркуль, чтобы получить окружность. Получить аккуратный ровный круг таким способом поначалу сложно, он требует практики – и это нормально. Старайтесь держать циркуль как можно прямее, когда рисуете. Никогда не держите циркуль за ножки, потому что почти наверняка вы собьете раскрыв.
• Я повторю еще раз и сделаю на этом упор: устанавливайте иглу очень точно, с большой аккуратностью и вниманием, и всегда следите за тем, чтобы грифель был заточен. Когда у кого-то с геометрией хорошо, а у кого-то — не очень, помните: все дело в точности.